Борис Васильевич Безрукавников родился 7 марта 1923 года в г. Липецке Тамбовской губернии  (ныне Липецкой области). После окончания школы поступил в Воронежский государственный университет.

В 1941 году со 2-го курса был призван в ряды РККА и направлен на учебу в пехотное училище в г. Вольск Саратовской области. С мая 1942 года на Калининском фронте, а в августе был в Сталинграде сначала солдатом, а потом командиром пулеметного взвода 76 Гвардейского стрелкового полка 27 Гвардейской стрелковой дивизии. Во время зимнего наступления в ноябре 1942 года был ранен в левый плечевой сустав и до июня 1943 находился на излечении в госпиталях Борисоглебска и Бузулука. Затем месяц работал инструктором военного обучения в одном из райвоенкоматов г. Оренбурга.

В августе 1943 года старший лейтенант Б. В. Безрукавников был демобилизован по ранению и вернулся в Липецк, где работал военруком в школе № 5. Параллельно заочно учился в Воронежском государственном педагогическом институте, который окончил в 1949 году. С февраля 1944 года работал инструктором, затем помощником секретаря Липецкого горкома партии. В 1946 году был направлен на учебу в двухгодичную Областную партийную школу при Воронежском обкоме ВКП (б). С 1948 года работал заведующим парткабинетом Липецкого горкома ВКП (б), в январе 1949 года назначен заведующим отделом агитации и пропаганды горкома. 

В 1951 году Б. В. Безрукавников был направлен на учебу в Высшую дипломатическую школу МИД СССР, которую окончил в 1954 году. Владел японским и английским языками.

На дипломатической работе Борис Васильевич с 1954 года. В 1954–1957 гг. он был первым секретарем посольства СССР в Китае, в 1957–1960 гг. – заведующим консульским отделом посольства СССР в Японии, в 1963–1967 гг. – советником посольства СССР в Японии; в 1971–1975 гг. – чрезвычайным и полномочным послом СССР в Сингапуре.
В 1960–1963, 1967–1971 и 1975–1979 гг. он работал в центральном аппарате МИД СССР, в 1979–1980 гг. был начальником Консульского управления МИД СССР.

Б. В. Безрукавников награжден орденами Трудового Красного Знамени, Красной Звезды, «Знак Почета»; медалями «За оборону Сталинграда», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.», «За доблестный труд в Великой Отечественной войне».

Ученый-японист Игорь Александрович Латышев в книге «Япония, японцы и японоведы» вспоминал: «Часто доводилось мне общаться по служебным и не совсем служебным делам с Борисом Васильевичем Безрукавниковым, так как в его поле зрения находились различные общественные объединения японцев. К тому же ему, как и журналистам, приходилось обычно вести свою работу за пределами посольства… Внешне Борис Васильевич олицетворял собой «русского медведя»: это был детина могучего телосложения… человек добродушный, справедливый и проявлявший искреннее участие к нуждам и просьбам как советских граждан, так и наших соотечественников-эмигрантов, мыкавшихся за пределами России на чужбине».

Умер Б. В. Безрукавников 18 ноября 1980 года, похоронен на Кунцевском кладбище г. Москвы.