Анатолий Андреевич Сокольских родился 20 апреля 1932 года в с. Фащевка Грязинского района Центрально-Черноземной (ныне Липецкой) области.

Работать в колхозе начал уже после окончания 4-х классов. Затем учился в школе фабрично-заводского обучения в Липецке (1949), был направлен в трест «Липецкстрой». Здесь стал бригадиром комплексной бригады.

Принимал участие в строительстве важнейших объектов НЛМК: азотно-туковое производство, первый и второй кислородно-конвертерные цехи, аглофабрика, пятая и шестая доменные печи, четвертый и пятый листопрокатные цехи и другие. Был одним из самых квалифицированных и надежных рабочих.

Заслуженный строитель РСФСР (1977). Награжден орденами «Знак почета» (1966), Октябрьской революции (1973). 12 марта 1979 года А. А. Сокольских было присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением Золотой звезды «Серп и молот» и ордена Ленина. 

Живет в Липецке.